为什么某些浮点 < 整数比较比其他的慢四倍？

浮点对象的 Python 源代码中的注释承认：

比较几乎是一场噩梦

在将浮点数与整数进行比较时尤其如此，因为与浮点数不同，Python 中的整数可以任意大并且总是精确的。尝试将整数转换为浮点数可能会丢失精度并使比较不准确。尝试将浮点数转换为整数也不行，因为任何小数部分都会丢失。

为了解决这个问题，Python 执行了一系列检查，如果其中一个检查成功，则返回结果。它比较两个值的符号，然后整数是否“太大”而不能成为浮点数，然后将浮点数的指数与整数的长度进行比较。如果所有这些检查都失败，则需要构造两个新的 Python 对象进行比较以获得结果。

将浮点数 v 与整数/长整数 w 进行比较时，最坏的情况是：

v 和 w 具有相同的符号（均为正或均为负），

整数 w 有足够少的位，它可以保存在 size_t 类型中（通常为 32 或 64 位），

整数 w 至少有 49 位，

浮点 v 的指数与 w 中的位数相同。

这正是我们对问题中的值所拥有的：

>>> import math
>>> math.frexp(562949953420000.7) # gives the float's (significand, exponent) pair
(0.9999999999976706, 49)
>>> (562949953421000).bit_length()
49

我们看到 49 既是浮点数的指数，也是整数的位数。这两个数字都是正数，因此符合上述四个标准。

选择一个更大（或更小）的值可以改变整数的位数或指数的值，因此 Python 能够确定比较的结果，而无需执行昂贵的最终检查。

这是特定于该语言的 CPython 实现的。

比较详细

float_richcompare 函数处理两个值 v 和 w 之间的比较。

以下是该函数执行的检查的分步说明。 Python 源代码中的注释在试图理解函数的作用时实际上非常有帮助，因此我将它们留在了相关的地方。我还在答案底部的列表中总结了这些检查。

主要思想是将 Python 对象 v 和 w 映射到两个适当的 C 双精度对象 i 和 j，然后可以轻松地将它们进行比较以给出正确的结果。 Python 2 和 Python 3 都使用相同的思想来做到这一点（前者只是分别处理 int 和 long 类型）。

首先要做的是检查 v 是否绝对是 Python 浮点数并将其映射到 C 双精度 i。接下来，该函数查看 w 是否也是一个浮点数并将其映射到 C 双精度 j。这是该功能的最佳情况，因为可以跳过所有其他检查。该函数还检查 v 是 inf 还是 nan：

static PyObject*
float_richcompare(PyObject *v, PyObject *w, int op)
{
    double i, j;
    int r = 0;
    assert(PyFloat_Check(v));       
    i = PyFloat_AS_DOUBLE(v);       

    if (PyFloat_Check(w))           
        j = PyFloat_AS_DOUBLE(w);   

    else if (!Py_IS_FINITE(i)) {
        if (PyLong_Check(w))
            j = 0.0;
        else
            goto Unimplemented;
    }

现在我们知道，如果 w 未能通过这些检查，它就不是 Python 浮点数。现在该函数检查它是否是 Python 整数。如果是这种情况，最简单的测试是提取 v 的符号和 w 的符号（如果为零则返回 0，如果为负则返回 -1，如果为正则返回 1）。如果符号不同，这就是返回比较结果所需的所有信息：

    else if (PyLong_Check(w)) {
        int vsign = i == 0.0 ? 0 : i < 0.0 ? -1 : 1;
        int wsign = _PyLong_Sign(w);
        size_t nbits;
        int exponent;

        if (vsign != wsign) {
            /* Magnitudes are irrelevant -- the signs alone
             * determine the outcome.
             */
            i = (double)vsign;
            j = (double)wsign;
            goto Compare;
        }
    }   

如果此检查失败，则 v 和 w 具有相同的符号。

下一个检查计算整数 w 中的位数。如果它有太多位，则不可能将其作为浮点数保存，因此其大小必须大于浮点数 v：

    nbits = _PyLong_NumBits(w);
    if (nbits == (size_t)-1 && PyErr_Occurred()) {
        /* This long is so large that size_t isn't big enough
         * to hold the # of bits.  Replace with little doubles
         * that give the same outcome -- w is so large that
         * its magnitude must exceed the magnitude of any
         * finite float.
         */
        PyErr_Clear();
        i = (double)vsign;
        assert(wsign != 0);
        j = wsign * 2.0;
        goto Compare;
    }

另一方面，如果整数 w 有 48 位或更少的位，它可以安全地转入 C 双精度 j 并进行比较：

    if (nbits <= 48) {
        j = PyLong_AsDouble(w);
        /* It's impossible that <= 48 bits overflowed. */
        assert(j != -1.0 || ! PyErr_Occurred());
        goto Compare;
    }

从现在开始，我们知道 w 有 49 位或更多位。将 w 视为正整数会很方便，因此根据需要更改符号和比较运算符：

    if (nbits <= 48) {
        /* "Multiply both sides" by -1; this also swaps the
         * comparator.
         */
        i = -i;
        op = _Py_SwappedOp[op];
    }

现在该函数查看浮点数的指数。回想一下，浮点数可以写（忽略符号）为有效数 * 2 指数，有效数表示 0.5 和 1 之间的数字：

    (void) frexp(i, &exponent);
    if (exponent < 0 || (size_t)exponent < nbits) {
        i = 1.0;
        j = 2.0;
        goto Compare;
    }

这检查了两件事。如果指数小于 0，则浮点数小于 1（因此在大小上小于任何整数）。或者，如果指数小于 w 中的位数，那么我们就有 v < |w|，因为有效位 * 2^exponent 小于 2^nbits。

如果这两项检查失败，函数会查看指数是否大于 w 中的位数。这表明有效数 * 2^exponent 大于 2^nbits 等 v > |w|：

    if ((size_t)exponent > nbits) {
        i = 2.0;
        j = 1.0;
        goto Compare;
    }

如果此检查不成功，我们知道浮点 v 的指数与整数 w 中的位数相同。

现在可以比较这两个值的唯一方法是从 v 和 w 构造两个新的 Python 整数。这个想法是丢弃 v 的小数部分，将整数部分加倍，然后加一。 w 也加倍，可以比较这两个新的 Python 对象以给出正确的返回值。使用具有小值的示例，4.65 < 4 将由比较 (2*4)+1 == 9 < 8 == (2*4) 确定（返回 false）。

    {
        double fracpart;
        double intpart;
        PyObject *result = NULL;
        PyObject *one = NULL;
        PyObject *vv = NULL;
        PyObject *ww = w;

        // snip

        fracpart = modf(i, &intpart); // split i (the double that v mapped to)
        vv = PyLong_FromDouble(intpart);

        // snip

        if (fracpart != 0.0) {
            /* Shift left, and or a 1 bit into vv
             * to represent the lost fraction.
             */
            PyObject *temp;

            one = PyLong_FromLong(1);

            temp = PyNumber_Lshift(ww, one); // left-shift doubles an integer
            ww = temp;

            temp = PyNumber_Lshift(vv, one);
            vv = temp;

            temp = PyNumber_Or(vv, one); // a doubled integer is even, so this adds 1
            vv = temp;
        }
        // snip
    }
}

为简洁起见，我省略了 Python 在创建这些新对象时必须执行的额外错误检查和垃圾跟踪。不用说，这增加了额外的开销，并解释了为什么问题中突出显示的值比其他值要慢得多。

以下是比较功能执行的检查的摘要。

令 v 为浮点数并将其转换为 C 双精度数。现在，如果 w 也是一个浮点数：

检查 w 是 nan 还是 inf。如果是这样，请根据 w 的类型单独处理这种特殊情况。

如果不是，则直接比较 v 和 w 的表示，因为它们是 C 的两倍。

如果 w 是整数：

提取 v 和 w 的符号。如果它们不同，那么我们知道 v 和 w 不同，并且哪个值更大。

（符号相同。）检查 w 是否有太多位而不是浮点数（超过 size_t）。如果是这样，w 的量级大于 v。

检查 w 是否有 48 位或更少的位。如果是这样，它可以安全地转换为 C double 而不会失去其精度并与 v 进行比较。

（w 超过 48 位。我们现在将 w 视为一个正整数，并适当地更改了比较操作。）

考虑浮点 v 的指数。如果指数为负，则 v 小于 1，因此小于任何正整数。否则，如果指数小于 w 中的位数，则它必须小于 w。

如果 v 的指数大于 w 中的位数，则 v 大于 w。

（指数与 w 中的位数相同。）

最后的检查。将 v 拆分为整数和小数部分。将整数部分加倍并加 1 以补偿小数部分。现在将整数 w 加倍。比较这两个新整数以获得结果。

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使用具有任意精度浮点数和整数的 gmpy2 可以获得更统一的比较性能：

~ $ ptipython
Python 3.5.1 |Anaconda 4.0.0 (64-bit)| (default, Dec  7 2015, 11:16:01) 
Type "copyright", "credits" or "license" for more information.

IPython 4.1.2 -- An enhanced Interactive Python.
?         -> Introduction and overview of IPython's features.
%quickref -> Quick reference.
help      -> Python's own help system.
object?   -> Details about 'object', use 'object??' for extra details.

In [1]: import gmpy2

In [2]: from gmpy2 import mpfr

In [3]: from gmpy2 import mpz

In [4]: gmpy2.get_context().precision=200

In [5]: i1=562949953421000

In [6]: i2=562949953422000

In [7]: f=562949953420000.7

In [8]: i11=mpz('562949953421000')

In [9]: i12=mpz('562949953422000')

In [10]: f1=mpfr('562949953420000.7')

In [11]: f<i1
Out[11]: True

In [12]: f<i2
Out[12]: True

In [13]: f1<i11
Out[13]: True

In [14]: f1<i12
Out[14]: True

In [15]: %timeit f<i1
The slowest run took 10.15 times longer than the fastest. This could mean that an intermediate result is being cached.
1000000 loops, best of 3: 441 ns per loop

In [16]: %timeit f<i2
The slowest run took 12.55 times longer than the fastest. This could mean that an intermediate result is being cached.
10000000 loops, best of 3: 152 ns per loop

In [17]: %timeit f1<i11
The slowest run took 32.04 times longer than the fastest. This could mean that an intermediate result is being cached.
1000000 loops, best of 3: 269 ns per loop

In [18]: %timeit f1<i12
The slowest run took 36.81 times longer than the fastest. This could mean that an intermediate result is being cached.
1000000 loops, best of 3: 231 ns per loop

In [19]: %timeit f<i11
The slowest run took 78.26 times longer than the fastest. This could mean that an intermediate result is being cached.
10000000 loops, best of 3: 156 ns per loop

In [20]: %timeit f<i12
The slowest run took 21.24 times longer than the fastest. This could mean that an intermediate result is being cached.
10000000 loops, best of 3: 194 ns per loop

In [21]: %timeit f1<i1
The slowest run took 37.61 times longer than the fastest. This could mean that an intermediate result is being cached.
1000000 loops, best of 3: 275 ns per loop

In [22]: %timeit f1<i2
The slowest run took 39.03 times longer than the fastest. This could mean that an intermediate result is being cached.
1000000 loops, best of 3: 259 ns per loop

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